多自由度系统振动简介和方程振动力学振动力学 由材料力学知， 当B点作用有单位力时，A点的挠度为： 柔度影响系数： 柔度矩阵： 位移方程： x1 x2 l/3 l/3 l/3 m1 m2 P1(t) P2(t) l a b A B P=1 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 例： 教材 P72 例4.1-2，求柔度阵 （1）在坐标 x1 上对质量 m1 作用单位力 系统在坐标 x1、x2、x3 上产生位移为: m1 m2 k1 k2 m3 k3 x1 x2 x3 解： （2）在坐标 x2 上对质量 m2 作用单位力 （3）在坐标 x3 上对质量 m3 作用单位力 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 柔度矩阵： 可以验证，有： m1 m2 k1 k2 m3 k3 x1 x2 x3 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 同理 m1 m2 k3 k1 k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 令 同理 m1 m2 k3 k1 k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 令 令 令 有： 令 有： 令 有： m1 m2 k3 k1 k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 质量矩阵： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 运动微分方程： m1 m2 k3 k1 k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 外力列阵 矩阵形式： 例：双混合摆，两刚体质量 质心 绕通过自身质心的 z 轴的转动惯量 求： 以微小转角 为坐标，写出在x-y平面内摆动的作用力方程 两刚体质量 h1 C1 C2 h2 l x y 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 受力分析 h1 C1 C2 h2 l x y x y 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 解： 先求质量影响系数 令 y h1 C1 C2 h2 l x 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 下摆对A取矩： 整体对B取矩： A B 则需要在两杆上施加力矩 21 2 2 2 1 1 1 11 ) ( m h l l m h m I m - + + + = 2 2 21 lh m m = 问：为什么不考虑重力？ 示意图，实际铅垂 2 2 2 1 1 1 l m h m I + + = 解： 令 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 A B y h1 C1 C2 h2 l x 22 2 2 2 2 12 ) ( m h l h m I m - + + = 2 2 2 2 22 h m I m + = 下摆对A取矩： 整体对B取矩： 则需要在两杆上施加力矩 2 2 lh m = 令 令 质量矩阵： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 求刚度影响系数 由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数 令 y h1 C1 C2 h2 l x 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 A B 则需要在两杆上施加力矩 下摆对A取矩： 整体对B取矩： 令 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 A B y h1 C1 C2 h2 l x 则需要在两杆上施加力矩 下摆对A取矩： 整体对B取矩： 令 令 刚度矩阵： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 运动微分方程： y h1 C1 C2 h2 l x 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 例： 求： 以微小转角 为坐标，写出微摆动的运动学方程 每杆质量 m 杆长度 l 水平弹簧刚度 k 弹簧距离固定端 a k a O1 O2 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 双刚体杆 解： 令： 则需要在两杆上施加力矩 分别对两杆 O1、O2 求矩： 令： 则需要在两杆上施加力矩 分别对两杆 O1、O2 求矩： a O1 O2 a O1 O2 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 刚度矩阵： a O1 O2 a O1 O2 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 令： 则需要在两杆上施加力矩 令： 则需要在两杆上施加力矩 质量矩阵： a O1 O2 k a O1 O2 k 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 运动学方程： k a O1 O2 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 例：两自由度系统 摆长 l，无质量，微摆动 求：运动微分方程 x m1 k1 k2 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 解： 先求解刚度矩阵 令： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 x方向力平衡 A点力矩平衡 m1 k1 k2 刚度矩阵第一列： 需要施加的力和矩 A x 静态平衡 解： 令： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 x方向力平衡 A点力矩平衡 刚度矩阵第二列： 需要施加的力和矩 m1 k1 k2 A x 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 x m1 k1 k2 刚度矩阵第一列： 刚度矩阵第二列： 系统刚度矩阵： 求解质量矩阵 令： 令： m1 k1 k2 惯性力 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 瞬时动态 m1 k1 k2 惯性力 惯性力 质量矩阵： x m1 k1 k2 刚度矩阵： 运动微分方程： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 小结： 建立动力学方程的影响系数法 多自由度系统作用力方程： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 质量矩阵 M 中的元素mij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力 刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力 刚度矩阵： 质量矩阵： 静态 动态 力的量纲 位移方程和柔度矩阵 － 对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度矩阵建立作用力方程来得更方便些 － 柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形 － 物理意义及量纲与刚度恰好相反 以一个例子说明位移方程的建立 x1 m1 x2 m2 P1 P2 无质量弹性梁，有若干集中质量 （质量连续分布的弹性梁的简化 ） 假设 是常力 以准静态方式作用在梁上 梁只产生位移（即挠度），不产生加速度 取质量 的静平衡位置为坐标 的原点 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 m1 位移： m2 位移： 时 （1） 时 （2） m1 位移： m2 位移： 同时作用 （3） m1 位移： m2 位移： f11 f21 P1=1 f12 f22 P2=1 x1 m1 x2 m2 P1 P2 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 同时作用时： 矩阵形式： 柔度矩阵 物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移 柔度影响系数 f11 f21 P1=1 f12 f22 P2=1 x1 m1 x2 m2 P1 P2 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 当 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在 位移方程 x1 m1 x2 m2 P1 P2 m1 m2 P1(t) P2(t) 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 m1 m2 P1(t) P2(t) 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 也可按作用力方程建立方程： 若K非奇异 位移方程： 柔度矩阵与刚度矩阵的关系： 刚度矩阵 对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在 应当注意： 位移方程不适用于具有刚体自由度的系统 m1 m2 k1 k2 m3 原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移 刚度矩阵 K 奇异 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 例： 求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程 已知梁的抗弯刚度矩阵为 x1 x2 l/3 l/3 l/3 m1 m2 P1(t) P2(t) 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统振动简介和方程振动力学振动力学 多自由度系统振动简介和方程 k c m 建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。 要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。 例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮之间的相互影响。 优点：模型简单； 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。 多自由度系统振动 k2 c2 m车 m人 k1 c1 建模方法2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。 优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合； 缺点：没有考虑车与车轮之间的相互影响。 多自由度系统振动 m人 k1 c1 k2 c2 m k3 c3 k2 c2 k3 c3 m车 m轮 m轮 建模方法3： 车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。 优点：分别考虑了人与车、车与车轮之间的相互耦合，模型较为精确. 问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？ 多自由度系统振动 教学内容 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统 多自由度系统振动 作用力方程 刚度矩阵和质量矩阵 位移方程和柔度矩阵 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 耦合与坐标变换 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 作用力方程 几个例子 例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力 不计摩擦和其他形式的阻尼 试建立系统的运动微分方程 m1 m2 k3 k1 k2 x1 x2 P1(t) P2(t) 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 解： 的原点分别取在 的静平衡位置 建立坐标： 设某一瞬时： 上分别有位移 加速度 受力分析： P1(t) k1x1 k2(x1-x2) m1 P2(t) k2(x1-x2) m2 k3x2 m1 m2 k3 k1 k2 x1 x2 P1(t) P2(t) 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 建立方程： 矩阵形式： 力量纲 坐标间的耦合项 P1(t) k1x1 k2(x1-x2) m1 P2(t) k2(x1-x2) m2 k3x2 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 例2：转动运动 两圆盘 转动惯量 轴的三个段的扭转刚度 试建立系统的运动微分方程 外力矩 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 解： 建立坐标： 角位移 设某一瞬时： 角加速度 受力分析： 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 建立方程： 矩阵形式： 坐标间的耦合项 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的 m1 m2 k3 k1 k2 P1(t) P2(t) 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 小结： 可统一表示为： 例1： 例2： 作用力方程 位移向量 加速度向量 质量矩阵 刚度矩阵 激励力向量 若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 n 个自由度系统: 多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 质量矩阵第 j 列 刚度矩阵第 j 列 广义坐标列向量 刚度矩阵和质量矩阵 当 M、K 确定。