杏彩体育官网入口网址·【结构动力学】单自由度体系知识整理
来源：杏彩体育官网网址 作者：杏彩体育官网入口2024-05-21 03:59:31这是一个常系数二阶线性非齐次微分方程，它的解由其对应的齐次方程的通解和它本身的某个特解构成。当外部激励
p(t)=p_0\sin\omega t时，可以分别对无阻尼系统、有阻尼系统进行外部激励下的动力学特性分析。1、无阻尼系统：
稳态响应是研究重点。考虑式（3.9）表达的稳态响应，可以发现其因子\frac{p_0}{k}
t较大时，有\sqrt{1+(\omega t)^2}\approx\omega t,振幅随时间的变化关系趋向于线性，相邻波峰位移反应的增量趋近于\pi A_{st}。下图反应了共振反应位移与振幅的这种特性。>
x_1(t)相当于频率较大、振动更加密集的“子”振动，它的振幅为频率较小、振动较为稀疏的“母”振动x_2(t)所控制，呈现周期性变化。2、粘滞阻尼系统：
，这意味着准静态荷载作用下结构的位移反应总是与荷载完全同步；当\beta=1，\varphi=\frac{\pi}{2}；\beta\rightarrow\infty，\varphi\rightarrow\pi。相位角反映了结构动力响应相对于动力荷载的滞后效应。>
实线为结构动力响应时程，虚线为荷载时程
此时位移反应动力放大系数R_d=\frac{1}{2\zeta}。注意，位移反应动力放大系数
（1）频率比接近零的区域为刚度控制区域。此时外荷载的时间变异性较小，系统近似承受静荷载，位移反应动力放大系数接近于1。此时如果想要控制结构的总位移，直接控制结构在静态荷载下的最大位移响应是最有效的办法。因此，当外荷载的时间变异性较弱，应设法增大结构刚度来控制结构位移。
（2）频率比在1附近的区域为阻尼控制区域。此区域内位移反应动力放大系数随结构阻尼比的变化非常剧烈。当结构阻尼比趋于零，位移反应动力放大系数甚至趋于无穷。此时设法增大结构阻尼比是控制结构位移的最佳策略。
（3）频率比远大于1的区域为质量控制区域。位移反应随频率比增大而减小，因此设法增大结构自重以降低结构自振频率、从而提升频率比来降低位移反应动力放大系数是最佳选择。
为结构自初始时刻起经历的完整周期数），此时位移大小为A_p=A_{\max}\left(1-e^{-2k\zeta\pi}\right)。可以发现，当阻尼比越大，结构发生共振反应时越快达到最大位移，这一点是有应用背景的。在结构动力实验中，常常利用共振反应使结构的位移快速增加至指定数值水平。如果我们指定位移预设值为A_{\max}=\frac{A_{st}}{2\zeta}，则阻尼比较大的结构位移反应达到预设值时会花费更少的周期数。>
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