1998年，美国投资咨询与矿业金融大咖兰登·克莱（Landon T. Clay，1926–2017）捐助成立了克莱数学研究所。这间非盈利私立研究所在2000年5月24日宣布设置千禧年数学大奖（The Millennium Grand Challenge in Mathematics），给能够解答七大数学难题的每人每项一百万美元的奖金。其中，第四道难题是要证明流体动力学中最重要的“纳维–斯托克斯方程”（Navier-Stokes equation）是否有解且为唯一。这则新闻把一个艰深数学问题及其称谓广为普及，甚至传播到数学领域之外的大庭广众。

　　纳维-斯托克斯方程是描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程组。该方程在不同条件下具有不同的形式。它在三维空间的一般向量表达式包括简单的线性质量守恒方程∇⋅=0和复杂的非线性动量守恒方程

　　1821年，纳维（Claude-Louis Navier，1785-1836）推广了欧拉方程，考虑到流体内部分子之间相互作用力所产生的粘性，特别是在靠边界层的粘性对流体的显著影响，建立了一个不可压缩流体动力平衡和运动基本方程式。

　　1827年，柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789-1857）在欧拉方程中引入流体微团应力张量的概念，推导出一个“柯西动量方程”，准确地描述了流体运动不同于固体运动的基本规律。

　　1845年，乔治·斯托克斯（George G. Stokes，1819-1903）在纳维方程的基础上推导出了带常数粘性的不可压缩流体的动量守恒运动方程式，也就是现在著名的“纳维-斯托克斯方程”。

　　今天，纳维-斯托克斯方程解的存在唯一性和许多特征（例如光滑性）尚待证明。1934年，法国数学家让-勒雷（Jean Leray，1906-1998）证明了方程在某种意义下弱解的存在。目前已知方程有一百多个特解，但一般解只能借助于计算机求数值近似。1999年，美国数学家史蒂夫·斯梅尔（Steve Smale，1930-）在题为“下一个世纪的数学问题”（Mathematical problems for the next century）的文章中也把纳维-斯托克斯方程列为现代数学尚待解决的18个极大难题之一。

　　图1 克劳德-路易·纳维塑像克劳德-路易·纳维（Claude-Louis Navier，1785年2月10日-1836年8月21日）是法国工程师与物理学家，他的主要贡献在力学领域。纳维的父亲克劳德-伯纳德（Claude-Bernard Navier，1756-1793）是个律师，在法国大时期是巴黎国民议会（Assemblée Nationale de Paris）一位议员。父亲在1793年去世后，母亲珍妮-玛丽（Jeanne-Marie Pourcher）自己回归老家Chalon-sur-Saône，把纳维留在巴黎由叔公、数学家和土木工程师高西（Émiland Gauthey，1732-1806）负责教育培养。当年，高西在桥梁公路学校（École des Ponts et Chaussées）兼职任教，并于1791年被政府任命为桥梁与公路建筑集团的总督导。叔公是少年纳维心目中的模范榜样，让他立志将来当一个土木工程师。1802年，17岁的纳维进入巴黎综合理工学院（École Polytechnique）就读。纳维的入学成绩几乎排在最低端，但他后来十分努力，一年后就进入了前十名优等生行列。在理工学院，纳维修读了数学家傅立叶（Jean-Baptiste J. Fourier，1768-1830）主讲的数学分析课程。纳维学习用功、思维敏捷，深得傅立叶教授的喜爱。后来，两人成为终生挚友。1804年，纳维以优等生资格从理工学院毕业。1806年，叔公高西去世，建筑集团邀请纳维去整理他留下的丰富文献记录和研究资料。在接下来的十多年里，纳维编辑了他叔公的手稿，主要是一些传统经验方法在土木工程中的多种应用，其中也加上了自己理论力学研究的一些分析结果。1813年，纳维为叔公出了新版的《桥梁特性》（Traité des ponts）以及为法国著名水力学工程师伯纳德·德·贝利多尔（Bernard-Forest de Bélidor，1698-1761）出了新版的《工程手册》。1819年，纳维应聘在桥梁公路学校讲授应用力学课程。在那里，纳维对传统的力学课程教学大纲做了一次彻底的改革，增加了大量的物理学和数学分析内容。1820年代初期，纳维与在巴黎综合理工学院任教的数学家柯西和加布里埃尔·拉梅（Gabriel Lamé，1795-1870）一起建立了力学中的弹性基本理论。1821年，纳维推导出一条新的弹性理论数学公式，第一次获得了具有足够精确度的弹性力计算结果。1823年，纳维受政府委托前往英格兰和苏格兰，去了解链式悬索桥的建设情况。事后他发表了一份著名的调查报告，其中提出了桥梁史上第一个悬索桥理论。这一成绩让他在1824年获选为法国科学院院士。不过，纳维的科学研究和工程实践也并非不无挫折。1824年，纳维在主持荣军院吊桥（Pont des Invalides）设计时，在计算中没有留出足够的安全余量，导致桥梁开裂并最后被拆除。当时指控不断，他因而受到了政府委员会的公开问责，认为他的设计过分依赖于物理数学而不是工程经验。

　　1826年，纳维出版了《桥梁与道路学院课程总结》（Résumé des Leçons Donnees a lÉcole des Ponts et Chaussées），文中论证了弹性模量是材料的一个基本属性，只和物体的材质有关而与其结构几何形状无关。这项重要成果让他成为结构分析理论的奠基人之一。1828年，纳维和泊松在《化学与物理年鉴》（Annales de Chimie et de Physique）杂志上发生了关于弹性理论的争论。不过，因为两者都基于相同的分子假说，这场辩论无果而终。1830年7月，法国爆发了“七月”。国王查理十世（Charles Philippe X，1757-1836）逃离法国，由波旁王朝（Bourbon Restoration）国王菲利普一世（Louis Philippe I，1773-1850）继任。这事件让爱国者数学家柯西大为震惊。柯西留下了家人，独自离开巴黎到了瑞士，在弗里堡（Fribourg）待了一段短暂时间。在那里，他作了一个重大决定，拒绝宣誓效忠新政权。他因此失去了在巴黎的所有职位，除了不需要宣誓的科学院院士资格。1831 年，柯西前往意大利都灵（Turin），随后接受了撒丁岛（Kingdom of Sardinia）国王的邀请，担任专门为他设立的理论物理学教授职位。1831年，纳维接替了柯西在巴黎综合理工学院的职位，担任微积分及力学教授。

　　1836年8月21日，纳维在巴黎去世，享年51岁。他的名字和其他71 位法国名人一起，被镌刻在巴黎埃菲尔铁塔上。

　　乔治·斯托克斯（George Gabriel Stoke）于1819年8月13日出生在爱尔兰北部Sligo郡Skreen教区，父亲加布里埃尔（Gabriel Stokes，1762-1834）是教区长，母亲伊丽莎白（Elizabeth Haughton）来自另一位教区长家庭。斯托克斯在家中八个孩子里最小，三个哥哥长大后都成为了牧师。斯托克斯从小接受家教，到1832年13岁时才被送到都柏林（Dublin）一所学校去接受正规教育。在学校里，斯托克斯显示出不凡的几何学观察和推证能力。三年后，斯托克斯到了英国Bristol College学习，该学院院长是位数学家，是斯托克斯哥哥在剑桥大学的同学。院长对斯托克斯的数学天分非常惊讶，力劝他到剑桥深造。1837年，斯托克斯获得奖学金进入了剑桥大学Pembroke College就读。从此之后，他终其一生从未离开过该学院。在剑桥，斯托克斯得到了数学家威廉·霍普金斯（William Hopkins，1793-1866）的喜爱和特别指导。1841年，斯托克斯以数学第一名荣誉生（Senior Wrangler）毕业并获Smith奖。学院马上提供了他一个研究员职位（Master of Pembroke College）。在霍普金斯建议和指导下，斯托克斯开始流体动力学方面的研究。斯托克斯在1842年和1843年相继发表了两篇论文“不可压缩流体的稳态运动”（On the steady motion of incompressible fluids）和“关于流体运动的一些研究”（On some cases of fluid motion）。之后，他进一步考虑有黏性流体的运动，并于1845年发表了论文“论有内部摩擦力流体之运动”（On the theories of the internal friction of fluids in motion）。在发表此论文之前，斯托克斯发现纳维早已在1822年写下相同的方程式，不过其结论带有推测性，而斯托克斯则是基于不同的假设条件下用严格的数学理论推导出该方程式。虽然纳维在先，斯托克斯再三考虑之后还是发表了该论文。此举厥功至伟，文中严格建立起来的方程式就是千禧难题“纳维-斯托克斯方程”。1846年，斯托克斯在英国科学促进会（British Association for the Advancement of Science）作了题为“流体动力学最新研究报告”（Report on recent researches in hydrodynamics）的著名演讲，一时好评如潮，之后各项荣誉接踵而至。1847年，斯托克斯在数学复变函数积分和无穷级数分析中有一个有趣的发现：他描述了两个独立函数的线性组合曲线（“斯托克斯曲线”）在渐近变化过程中当变量的模越过某个阈值（“斯托克斯界线”）时会出现不连续性，后人称之为“斯托克斯现象”。1847年，斯托克斯参与了对英国Dee Bridge断塌灾难的调查。他被委任为皇家委员会（Royal Commission）成员，对移动机车在大桥上的压力作了详尽计算和分析，确定了主要原因是火车重量超过了桥梁铸铁的承载能力。事。